Задание C62D48: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −10(x − 3)² − 5 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 3 − √5, x ≠ 3 + √5. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −10(x − 3)² − 5 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x − 3)² − 5 = x² − 6 · x + 4.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −10x² − 6 · x + 4; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² − 6 · x + 4: D = (−6)² − 4 · (1) · (4) = 20.
По формуле x = −(−6) ± 2 · √52 · (1) получаем x = 3 − √5, x = 3 + √5.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 3 − √5, 3 + √5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 3 − √5): при x = −1 получаем f(x) = −1011, знак отрицателен.
(3 − √5; 3 + √5): при x = 1 получаем f(x) = 10, знак положителен.
(3 + √5; +∞): при x = 7 получаем f(x) = −1011, знак отрицателен.
x = 3 − √5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 3 + √5 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (3 − √5; 3 + √5).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (3 − √5; 3 + √5).