Задание D217FD: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 6; y = 9. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
36 = 2² · 3².
(y²)⁻¹ = y⁻².
Для основания 2: 2 = 2.
Для основания 3: 2 = 2.
Для основания x: 4 = 4.
Для основания y: −2 = −2.
Подкоренное выражение равно 36 · x⁴y².

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
36 · x⁴y² = (6 · x²y)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |6 · x²y|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
2169 = 24.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 46656, знаменатель — 81. Их отношение: 4665681 = 576.
Получено 576. Квадрат найденного неотрицательного числа: 24² = 576. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 24.

Ответ: 24.