Задание D0878B: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: 2 · x² − 16 · x + 32x + 6 ≤ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ −6. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: 2 · x² − 16 · x + 32x + 6 − (0) ≤ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
2 · x² − 16 · x + 32 = 2 · (x − 4)².
Итак, исследуем знак выражения f(x) = 2 · (x − 4)²x + 6; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −6, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −6): при x = −7 получаем f(x) = −242, знак отрицателен.
(−6; 4): при x = −5 получаем f(x) = 162, знак положителен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 211, знак положителен.
x = −6 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −6) ∪ {4}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −6) ∪ {4}.