Задание 248786: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (3 − x) · (x² + 4 · x − 21) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (3 − x) · (x² + 4 · x − 21) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + 4 · x − 21 = (x − 3) · (x + 7).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −(x − 3)² · (x + 7); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −7, 3.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −7): при x = −8 получаем f(x) = 121, знак положителен.
(−7; 3): при x = −6 получаем f(x) = −81, знак отрицателен.
(3; +∞): при x = 4 получаем f(x) = −11, знак отрицателен.
x = −7 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −7] ∪ {3}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −7] ∪ {3}.