Задание CCDEE7: Колебания и волны

Систему отсчёта свяжем с Землёй и будем считать инерциальной. Ось Ox направим вдоль рельса вправо, начало O — положение равновесия тележки, где пружина не деформирована; ось Oy направим вверх. Координата x отсчитывается от O, её наибольший модуль равен амплитуде A.

На тележку действуют сила тяжести mg, суммарная реакция опоры N=N₁+N₂ и сила упругости F_упр. Потерями энергии пренебрегаем в модели свободных гармонических колебаний. Масса колёс пренебрежимо мала, поэтому их вращательная энергия не добавляется к поступательной энергии тележки. Законы Ньютона и Гука дают:
N−mg=0,
F_упр,x=−kx,
ma_x=−kx.
Ускорение направлено к положению равновесия. Тележка разгоняется, приближаясь к O, и замедляется, удаляясь от него.

Силы тяжести и реакции опоры работы при горизонтальном движении не совершают. Механическая энергия тележки и пружины сохраняется:
mv²2+kx²2=kA²2.
Правая часть получена для крайнего положения, где |x|=A, а v=0. Выразим квадрат скорости:
v²=km·(A²−x²).
Он наибольший при x=0. Поэтому
v_max²=kA²m,
v_max=A·√km.

Подстановка:
v_max=0,1 м·√200 Н·м⁻¹2 кг=0,1 м·10 с⁻¹=1 м·с⁻¹.

Проверка. Энергия пружины при максимальной деформации
E=kA²2.
Подстановка:
E=200 Н·м⁻¹·0,01 м²2=1 Дж.
Для найденной скорости максимальная кинетическая энергия
K_max=mv_max²2.
Подстановка:
K_max=2 кг·1 м²·с⁻²2=1 Дж.
Дополнительно циклическая частота определяется уравнением движения: ω²=km. Здесь ω=10 с⁻¹, и независимое соотношение v_max=ωA также даёт 1 м·с⁻¹.

Ответ: 1 м·с⁻¹.