Задание CA1891: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Все числовые основания положительны и ненулевые, поэтому отрицательные степени и деление определены. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
8 = 2³.
24 = 2³ · 3.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания 2: 12 − 9 = 3.
Для основания 3: 4 − 2 = 2.
После сокращения получаем 2³ · 3².
2³ · 3² = 72.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 331776, знаменатель — 4608. Их отношение: 3317764608 = 72.
Получено то же значение 72. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 72.