Задание C6B499: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Даны a = 2. Эти значения ненулевые, поэтому деление и отрицательные степени допустимы. Сначала упростим выражение по свойствам степеней, затем выполним числовые вычисления.

2. Используем правила: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ, aᵐaⁿ = aᵐ⁻ⁿ, (aᵐ)ⁿ = aᵐⁿ. Степень произведения распределяется по множителям; отрицательная степень означает обратное число. Для числовых составных оснований используем разложение на простые множители.

3. Промежуточные преобразования:
(a⁷)⁻² = a⁻¹⁴.
(a⁻¹⁸)⁻¹ = a¹⁸.
Соберём показатели каждого основания. Показатели множителей знаменателя входят со знаком минус:
Для основания a: −14 + 18 = 4.
После сокращения получаем a⁴.
При подстановке: 2⁴ = 16.

4. Проверка прямым вычислением исходного выражения без сокращения буквенных степеней: Числитель после подстановки равен 262144, знаменатель — 16384. Их отношение: 26214416384 = 16.
Получено то же значение 16. Условие ненулевых знаменателей выполнено, а все преобразования сохраняют значение выражения.

Ответ: 16.