Задание C911B9: Треугольник

1. Пусть O — центр окружности, r — её радиус, а AC = x. Так как C лежит на окружности и O находится на AC, имеем AO = AC − OC = x − r.

2. Радиус OB перпендикулярен касательной AB, поэтому треугольник AOB прямоугольный. По теореме Пифагора (x − r)² = AB² + r². Раскрываем скобки и сокращаем r²: x² − 2rx = AB². Так как 2r — диаметр d, получаем x² − dx = AB².

3. При d = 16 и AB = 15 уравнение принимает вид x² − 16x − 225 = 0. Дискриминант равен 1156, его корень равен 34. Корни: 25 и −9. Отрицательная длина невозможна, поэтому AC = 25.

Проверка: AC² − d · AC = 625 − 400 = 225 = AB². Радиус 8 положителен и меньше AC; центр лежит на указанной стороне.

Ответ: 25.