Задание 681B15: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 25 = 0,
x² + 2x − 15 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 25 = 5². Поэтому возможны только два значения: x = −5 и x = 5. Проверим их во втором уравнении:
При x = −5: (−5)² + 2 · (−5) − 15 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 5: 5² + 2 · 5 − 15 = 20. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −5.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −5:
(−5)² − 25 = 0,
(−5)² + 2 · (−5) − 15 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −5.