Задание 878188: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² − 2 · x − 15) · (x² − 7 · x + 10) ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² − 2 · x − 15) · (x² − 7 · x + 10) − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 2 · x − 15 = (x − 5) · (x + 3).
x² − 7 · x + 10 = (x − 5) · (x − 2).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5)² · (x − 2) · (x + 3); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −3, 2, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −3): при x = −4 получаем f(x) = 486, знак положителен.
(−3; 2): при x = −2 получаем f(x) = −196, знак отрицателен.
(2; 5): при x = 3 получаем f(x) = 24, знак положителен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 36, знак положителен.
x = −3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 2 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−3; 2] ∪ {5}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [−3; 2] ∪ {5}.