Задание C1DBE5: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−2x+√5−x=√5−x+24. Квадратные корни определены, если 5 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 5.

2. На этой области одинаковое слагаемое √5 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 2x − 24 = 0. Область x ≤ 5 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 2x − 24 = 0.
D = (−2)² − 4 · (1) · (−24) = 100.
√100 = 10. По формуле корней x = −(−2) ± 102 · (1).
Получаем x = −4, x = 6.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −4: 5 − (−4) = 9; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 6: 5 − (6) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −4. Подкоренное выражение равно 9, а часть без корня равна (−4)² + (−2) · (−4) = 24. Поэтому обе части исходного уравнения равны 24 + √9. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −4.