Задание 5DDDE2: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x+1)⁴+(x+1)²−6=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x + 1; введём новую переменную t = (x + 1)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x + 1)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² + t − 6 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней t = −(1) ± 52 · (1).
Получаем t = −3, t = 2.

3. Значение t = −3 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 2, то есть (x + 1)² = 2. Следовательно, x + 1 = −√2 или x + 1 = √2.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = −1 − √2 или x = −1 + √2.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x + 1)² = 2, а (x + 1)⁴ = 4. Левая часть исходного уравнения равна 4 + (1) · 2 + (−6) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: −1 − √2; −1 + √2.