Задание C03D26: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + 3 · x − 4) · (x² − 6 · x + 5) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + 3 · x − 4) · (x² − 6 · x + 5) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + 3 · x − 4 = (x − 1) · (x + 4).
x² − 6 · x + 5 = (x − 5) · (x − 1).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x − 1)² · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 1, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 360, знак положителен.
(−4; 1): при x = −3 получаем f(x) = −128, знак отрицателен.
(1; 5): при x = 2 получаем f(x) = −18, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 250, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 1 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ {1} ∪ [5; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4] ∪ {1} ∪ [5; +∞).