Задание 61CB27: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + x − 20) · (x² − 7 · x + 12) ≤ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + x − 20) · (x² − 7 · x + 12) − (0) ≤ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 20 = (x − 4) · (x + 5).
x² − 7 · x + 12 = (x − 4) · (x − 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 4)² · (x − 3) · (x + 5); требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −5, 3, 4.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −5): при x = −6 получаем f(x) = 900, знак положителен.
(−5; 3): при x = −4 получаем f(x) = −448, знак отрицателен.
(3; 4): при x = 3,5 получаем f(x) = 1,0625, знак положителен.
(4; +∞): при x = 5 получаем f(x) = 20, знак положителен.
x = −5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ [−5; 3] ∪ {4}.
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: [−5; 3] ∪ {4}.