Задание C0319F: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x − 3 и (x − 3)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 3.

2. Введём t = 1x − 3. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x − 3)² = t². Уравнение принимает вид:
t² − 3t − 4 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (−4) = 25.
√25 = 5. По формуле корней t = −(−3) ± 52 · (1).
Получаем t = −1, t = 4.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x − 3 = 1t:
t = −1: x − 3 = 1−1 = −1, поэтому x = 3 + (−1) = 2.
t = 4: x − 3 = 14 = 14, поэтому x = 3 + (14) = 134.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = 2: x − 3 = −1 не равно нулю; 1(−1)² + (−3) · 1−1 + (−4) = 1 + (3) + (−4) = 0.
x = 134: x − 3 = 14 не равно нулю; 1(14)² + (−3) · 114 + (−4) = 16 + (−12) + (−4) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 3, поэтому список корней полный.

Ответ: 2; 134.