Задание 94AF92: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение x⁴=(3x−10)² определено при всех действительных x. Левая часть — квадрат x², правая — квадрат выражения 3x − 10. Используем разность квадратов, чтобы учесть оба возможных знака.

2. Перенесём правую часть влево и разложим разность квадратов:
(x² − (3x − 10)) · (x² + (3x − 10)) = 0.
После раскрытия скобок внутри множителей:
(x² − 3x + 10) · (x² + 3x − 10) = 0.
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.

3. Решим оба квадратных уравнения:
x² − 3x + 10 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (10) = −31.
Дискриминант отрицателен, поэтому действительных корней нет.

x² + 3x − 10 = 0.
D = (3)² − 4 · (1) · (−10) = 49.
√49 = 7. По формуле корней x = −(3) ± 72 · (1).
Получаем x = −5, x = 2.

4. Соберём все действительные корни: −5, 2. Проверка в исходном уравнении:
x = −5: слева (−5)⁴ = 625; справа (3(−5)−10)² = 625.
x = 2: слева (2)⁴ = 16; справа (3(2)−10)² = 16.
Разложение на множители равносильно исходному равенству, а оба множителя исследованы полностью. Поэтому других корней нет.

Ответ: −5; 2.