Задание BE56DF: Оптика

1. Система отсчёта связана с водоёмом. Рассмотрим вертикальное сечение по солнечным лучам; горизонтальная ось направлена вдоль тени. Подводная часть сваи H=2 м, надводная h=1 м. Угол падения α=30° отсчитывается от вертикальной нормали к поверхности, не от самой поверхности. Вода имеет n=4÷3, воздух — 1; поверхность плоская.
2. Граничный луч касается верхушки сваи над водой. До поверхности он смещается горизонтально на L₁=h tg α. После входа в воду луч преломляется к нормали и проходит от поверхности до дна, смещаясь ещё на L₂=H tg β. Поэтому длина тени от основания сваи:
L = h tg α + H tg β.
По закону преломления sin α=n sin β, следовательно
sin β = sin αn,
tg β = sin β√1 − sin² β.
3. Подстановка α=30°, n=4÷3:
sin β = 38,
tg β = 3√55.
Подстановка высот в формулу тени:
L = 1 м·1√3 + 2 м·3√55 = (1√3 + 6√55) м ≈ 1,386 м.
4. На построении видны оба прямолинейных участка: от верхушки до границы воды и от границы до конца тени. Излом луча происходит на поверхности, а не у верхушки или основания сваи. Сама свая остаётся вертикальной, её подводная и надводная части показаны в исходных размерах.
Проверка. Воздушное горизонтальное смещение около 0,577 м, подводное около 0,809 м, сумма 1,386 м. Если бы преломления не было, при общей высоте 3 м тень равнялась бы 3 tg30°≈1,732 м. Вода уменьшает угол луча к вертикали, поэтому полученная тень короче, что согласуется с законом преломления.

Ответ: Длина тени L = (1√3 + 6√55) м ≈ 1,39 м.