Задание BB2FF8: Молекулярная физика и термодинамика

Система отсчёта связана с Землёй. Газ считаем идеальным, трения о гладкие стенки нет. Примем g = 10 м·с⁻² и R = 8,31 Дж·моль⁻¹·К⁻¹.
1. Ось Ox направим вправо, Oy — вверх. На поршень действуют pS вправо, атмосферная сила p₀S и сила растянутой пружины kx влево. Вес и вертикальная нормальная реакция компенсируются. Движение медленное, ускорением пренебрегаем:
pS − p₀S − kx = 0, N − Mg = 0.
Вначале p = p₀, поэтому пружина не деформирована; её естественная длина равна L. После смещения на b:
p₂ = p₀ + kbS, V₁ = SL, V₂ = S(L + b).
2. Изменение внутренней энергии одноатомного газа:
ΔU = 32(p₂V₂ − p₀V₁) = 32(p₀Sb + kbL + kb²).
Давление линейно возрастает с объёмом. Работа газа равна площади трапеции на p–V-диаграмме:
A = p₀ + p₂2(V₂ − V₁) = p₀Sb + kb²2.
Второе слагаемое — энергия растяжения пружины; первое — работа против атмосферы.
3. Первый закон термодинамики:
Q = ΔU + A = 5p₀Sb2 + 3kbL2 + 2kb².
Выражаем жёсткость пружины:
k(3bL + 4b²) = 2Q − 5p₀Sb,
k = 2Q − 5p₀Sbb(3L + 4b).
Подстановка чисел не требуется; для положительной жёсткости Q должно превышать теплоту изобарного расширения без пружины.
4. Проверка. В пределе k = 0 получаем обычное изобарное расширение одноатомного газа Q = 2,5p₀Sb. При b = 0 сама прямая формула даёт Q = 0. Все слагаемые p₀Sb, kbL и kb² имеют размерность энергии; избыточное давление kb÷S направлено против растущей силы пружины. Формулы для обратных задач применяются при b > 0.

Ответ: k = 2Q − 5p₀Sbb(3L + 4b).