Задание B8D35A: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: x = 5; y = 2. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
4 = 2².
Для основания 2: −2 = −2.
Для основания x: 2 = 2.
Для основания y: 8 = 8.
Подкоренное выражение равно x² · y⁸4.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
x² · y⁸4 = (x · y⁴2)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |x · y⁴2|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
802 = 40.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 6400, знаменатель — 4. Их отношение: 64004 = 1600.
Получено 1600. Квадрат найденного неотрицательного числа: 40² = 1600. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 40.

Ответ: 40.