Задание B86D7F: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x − 5)² < √7 · (x − 5).
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x − 5)² − (√7 · (x − 5)) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 5) · (x − 5 − √7); требуется f(x) < 0.
Произведение равно нулю, когда хотя бы один линейный множитель равен нулю:
x − 5 − √7 = 0, откуда x = 5 + √7.
x − 5 = 0, откуда x = 5.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 5, 5 + √7.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 5): при x = 4 получаем f(x) = 1 + √7, знак положителен.
(5; 5 + √7): при x = 6 получаем f(x) = 1 − √7, знак отрицателен.
(5 + √7; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 16 − 4 · √7, знак положителен.
x = 5 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 5 + √7 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак <, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (5; 5 + √7).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (5; 5 + √7).