Задание 41D970: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: −14(x − 5)² − 2 ≥ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 5 − √2, x ≠ 5 + √2. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: −14(x − 5)² − 2 − (0) ≥ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
(x − 5)² − 2 = x² − 10 · x + 23.
Итак, исследуем знак выражения f(x) = −14x² − 10 · x + 23; требуется f(x) ≥ 0.
Найдём нули x² − 10 · x + 23: D = (−10)² − 4 · (1) · (23) = 8.
По формуле x = −(−10) ± 2 · √22 · (1) получаем x = 5 − √2, x = 5 + √2.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 5 − √2, 5 + √2.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 5 − √2): при x = 2 получаем f(x) = −2, знак отрицателен.
(5 − √2; 5 + √2): при x = 4 получаем f(x) = 14, знак положителен.
(5 + √2; +∞): при x = 8 получаем f(x) = −2, знак отрицателен.
x = 5 − √2 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 5 + √2 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (5 − √2; 5 + √2).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (5 − √2; 5 + √2).