Задание B3F219: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Рассматриваем действительные значения x. Оба слагаемых в левой части — квадраты, поэтому каждый неотрицателен. Их сумма равна нулю тогда и только тогда, когда оба квадрата одновременно равны нулю.

2. Следовательно, исходное уравнение равносильно системе:
x² − 49 = 0,
x² + 4x − 21 = 0.
Важно, что должны выполняться сразу оба уравнения, а не одно из них.

3. Из первого уравнения x² = 49 = 7². Поэтому возможны только два значения: x = −7 и x = 7. Проверим их во втором уравнении:
При x = −7: (−7)² + 4 · (−7) − 21 = 0. Второе уравнение выполнено.
При x = 7: 7² + 4 · 7 − 21 = 56. Второе уравнение не выполнено, это значение исключаем.
Остаётся единственный корень x = −7.

4. Проверка в исходном уравнении при x = −7:
(−7)² − 49 = 0,
(−7)² + 4 · (−7) − 21 = 0.
Поэтому исходная сумма квадратов равна 0² + 0² = 0. Других действительных корней нет: первый квадрат обращается в ноль только при двух уже проверенных значениях.

Ответ: −7.