Задание 758215: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. В исходном уравнении есть знаменатели x − 2 и (x − 2)². Они не должны быть равны нулю, поэтому область допустимых значений: x ≠ 2.

2. Введём t = 1x − 2. При допустимом x новая переменная не равна нулю, а 1(x − 2)² = t². Уравнение принимает вид:
t² − t − 6 = 0.
D = (−1)² − 4 · (1) · (−6) = 25.
√25 = 5. По формуле корней t = −(−1) ± 52 · (1).
Получаем t = −2, t = 3.

3. Все найденные значения t ненулевые. Вернёмся к x из равенства x − 2 = 1t:
t = −2: x − 2 = 1−2 = −12, поэтому x = 2 + (−12) = 32.
t = 3: x − 2 = 13 = 13, поэтому x = 2 + (13) = 73.

4. Проверка области и подстановка в исходную левую часть:
x = 32: x − 2 = −12 не равно нулю; 1(−12)² + (−1) · 1−12 + (−6) = 4 + (2) + (−6) = 0.
x = 73: x − 2 = 13 не равно нулю; 1(13)² + (−1) · 113 + (−6) = 9 + (−3) + (−6) = 0.
Каждое значение удовлетворяет исходному уравнению. Замена обратима при t ≠ 0 и x ≠ 2, поэтому список корней полный.

Ответ: 32; 73.