Задание 116114: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Решаем систему:
x²+3y²=31;
2x²+6y²=31x.
Обе части всех равенств — многочлены, поэтому допустимы любые действительные x и y. Ответом должны быть пары, одновременно удовлетворяющие двум уравнениям.

2. Левая часть второго уравнения равна левой части первого, умноженной на 2. Умножим всё первое равенство на 2 и вычтем его из второго. Квадратные члены сократятся:
−31x + 62 = 0.
Отсюда −31x = −62, поэтому x = −62−31 = 2.

3. Подставим x = 2 в первое уравнение:
1 · (2)² + 3y² = 31.
3y² = 31 − 4 = 27.
y² = 9 = 3², поэтому y = −3 или y = 3. Оба знака подходят.

4. Проверка обеих пар в исходной системе:
Пара (2; −3):
(2)²+3(−3)² = 31, 31 = 31;
2(2)²+6(−3)² = 62, 31(2) = 62.
Пара (2; 3):
(2)²+3(3)² = 31, 31 = 31;
2(2)²+6(3)² = 62, 31(2) = 62.
Вычитание кратного первого уравнения из второго сохраняет равносильность. Значение x единственно, а для него найдены все возможные y.

Ответ: (2; −3); (2; 3).