Задание B27AE1: Молекулярная физика

Система отсчёта связана с Землёй, ось Oy направим вверх. На систему шара с грузом действуют сила Архимеда FА вверх и силы тяжести всех её частей вниз. На границе подъёма ускорение равно нулю; для начала движения вверх сила Архимеда должна стать больше суммарного веса. Примем g = 10 м·с⁻², R = 8,31 Дж·моль⁻¹·К⁻¹, молярную массу воздуха Mв = 0,029 кг·моль⁻¹.
1. Обозначим массу оболочки M, массу горячего воздуха m, общий объём V. По условию T = 2T₀. Давления внутри и снаружи равны из-за отверстия, молярные массы воздуха одинаковы. Дополнительного груза нет, объёмом материала оболочки пренебрегаем.
2. По уравнению Менделеева — Клапейрона:
ρ₀ = pMвRT₀, ρ = pMвRT,
ρ₀ρ = TT₀.
Подстановка отношения температур:
ρ₀ = 2ρ.
Так как m = ρV, сила Архимеда равна FА = 2mg.
3. Проекция второго закона Ньютона на Oy в предельном равновесии:
FА − (M + m)g = 0,
2mg = (M + m)g,
M = m, Mm = 1.
Для положительного ускорения вверх требуется FА > (M + m)g, то есть M < m. Равенство задаёт порог, при небольшом дополнительном нагреве начинается подъём.
4. Проверка. При равных массах оболочки и горячего воздуха их суммарный вес равен весу вытесненного холодного воздуха. Если оболочка тяжелее m, разности плотностей недостаточно. Отношение безразмерно и не зависит от V, p и g; существенно удвоение абсолютной температуры, а не температуры в градусах Цельсия.

Ответ: M оболочки ≤ m воздуха; пороговое отношение равно 1.