Задание AF5B2C: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−2)(x²+6x+9)=6(x+3) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 3) · ((x−2) · (x + 3) − 6) = 0.
На x + 3 не делим: иначе можно потерять корень x = −3.

3. Первый множитель даёт x = −3. Второй даёт уравнение (x−2) · (x + 3) − 6 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + x − 12 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−12) = 49.
√49 = 7. По формуле корней x = −(1) ± 72 · (1).
Получаем x = −4, x = 3.

4. Объединим полученные значения: −4, −3, 3. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −4: слева ((−4)−2)((−4)²+6(−4)+9) = −6; справа 6((−4)+3) = −6.
x = −3: слева ((−3)−2)((−3)²+6(−3)+9) = 0; справа 6((−3)+3) = 0.
x = 3: слева ((3)−2)((3)²+6(3)+9) = 36; справа 6((3)+3) = 36.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −4; −3; 3.