Задание 984D22: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение x(x²+4x+4)=3(x+2) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 4x + 4 = (x + 2)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 2) · (x · (x + 2) − 3) = 0.
На x + 2 не делим: иначе можно потерять корень x = −2.

3. Первый множитель даёт x = −2. Второй даёт уравнение x · (x + 2) − 3 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + 2x − 3 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−3) = 16.
√16 = 4. По формуле корней x = −(2) ± 42 · (1).
Получаем x = −3, x = 1.

4. Объединим полученные значения: −3, −2, 1. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −3: слева (−3)((−3)²+4(−3)+4) = −3; справа 3((−3)+2) = −3.
x = −2: слева (−2)((−2)²+4(−2)+4) = 0; справа 3((−2)+2) = 0.
x = 1: слева (1)((1)²+4(1)+4) = 9; справа 3((1)+2) = 9.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −3; −2; 1.