Задание AF318D: Законы сохранения

Систему отсчёта связываем с Землёй и считаем инерциальной. Размерами тел при описании их поступательного движения пренебрегаем.
Обозначим длины нитей l₁ и l₂, соответствующие массам m₁ и m₂. Ось Ox направим вправо от первого шарика ко второму, Oy — вверх. Пружину считаем лёгкой; её сжатие мало по сравнению с длинами нитей, поэтому за время расталкивания нити остаются практически вертикальными.
На каждый шарик действуют тяжесть, натяжение нити и при расталкивании сила пружины. Для всей системы горизонтальные внутренние силы пружины компенсируются, внешние силы вертикальны, поэтому Δp_x≈0. До освобождения пружины импульс нулевой. Если v₁ и v₂ — модули скоростей после расталкивания, то
0=−m₁v₁+m₂v₂,
v₁v₂=m₂m₁.
После потери контакта с пружиной на каждый шарик действуют только тяжесть и натяжение. На подъёме выберем Or к подвесу и Os по касательной вверх. Второй закон Ньютона:
Or: T_i−m_i·g cosφ=m_i·v_i²l_i;
Os: −m_i·g sinφ=m_i·a_s.
Натяжение не совершает работы, поэтому энергия каждого шарика при подъёме сохраняется. При максимальном одинаковом отклонении α скорости нулевые:
m₁v₁²2=m₁gl₁(1−cosα),
m₂v₂²2=m₂gl₂(1−cosα).
Делим эти равенства и сокращаем массы:
l₁l₂=v₁²v₂²=(m₂m₁)².
Подстановка данного отношения:
l₁l₂=1,5²=2,25.
Проверка: более лёгкий шарик m₁ получает в 1,5 раза большую скорость и поднимается в 2,25 раза выше. При одинаковом угле высота пропорциональна длине нити, поэтому его нить действительно длиннее в 2,25 раза.

Ответ: l₁l₂=2,25; нить более лёгкого шарика длиннее.