Задание AE66B8: Механика

Модель. Шайба — материальная точка на внешней поверхности конуса; система отсчёта связана с Землёй и считается инерциальной. Угол α лежит между образующей и вертикалью, 0 < α < 90°. Расстояние L измерено по образующей, поэтому радиус горизонтальной окружности r = L sinα.

Ось x направим горизонтально к оси конуса, ось y — вертикально вверх. Действуют три силы: mg вниз, реакция N по нормали наружу от поверхности и трение покоя f вдоль образующей к вершине. Нормаль имеет проекции −N cosα и N sinα; трение — f sinα и f cosα. Ускорение направлено к оси, его модуль ω²r.

Второй закон Ньютона в проекциях:
f sinα − N cosα = mω²L sinα,
f cosα + N sinα = mg.
Умножим первое уравнение на cosα, второе на sinα и вычтем первое из второго. Затем аналогично исключим N. Получим:
N = m sinα · (g − ω²L cosα),
f = m(g cosα + ω²L sin²α).
В частности, f положительна: трение действительно направлено к вершине. Неподвижность относительно конуса требует N > 0 и f ≤ μN. При предельном допустимом вращении выполняется равенство f = μN.

При заданных ω и L силы f и N однозначно определены проекциями Ньютона. Следовательно, наименьший коэффициент, ещё обеспечивающий трение покоя, равен:
μ_мин = fN = g cosα + ω²L sin²αsinα(g − ω²L cosα).
Подстановка чисел здесь не требуется. Числитель и знаменатель имеют размерность ускорения, поэтому коэффициент безразмерен.

Необходимо отдельно проверить контакт: g − ω²L cosα > 0. При равенстве N = 0, но f > 0, поэтому никакой конечный коэффициент трения не удержит шайбу. При отрицательном выражении требовалась бы отрицательная реакция опоры, что невозможно для внешней поверхности.

Проверка. При ω = 0 формула даёт μ_мин = ctgα. При приближении ω²L cosα к g снизу нормальная реакция стремится к нулю, а требуемый коэффициент неограниченно возрастает. Эти пределы согласуются с физической моделью.