Задание AB4DF3: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=2|x|−1|x|−2x².

Область определения: x ≠ −12, x ≠ 0, x ≠ 12. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Знаменатель представим в виде |x|(1 − 2|x|), поскольку x² = |x|². Числитель 2|x| − 1 противоположен второму множителю знаменателя. Сокращая его при допустимых x, получаем y = −1|x|.

2. При x < 0 график задаётся формулой y = 1x, при x > 0 — y = −1x. Обе ветви ниже оси Ox; точки с абсциссами ±12 выколоты, x = 0 — вертикальная асимптота.

3. Для пересечения с y = kx при k > 0 нужен отрицательный x. Тогда kx = 1x, то есть kx² = 1, и единственный подходящий корень x = −1√k. Он запрещён только при k = 4.

При k < 0 нужен положительный x. Уравнение kx = −1x даёт x = 1√−k. Этот корень запрещён только при k = −4. При k = 0 прямая совпадает с осью Ox, которую график не пересекает.

Проверка: при двух ненулевых найденных k единственный возможный корень равен одному из исключённых аргументов; при остальных ненулевых k корень существует и допустим.

Ответ: k ∈ {−4; 0; 4}.