Задание 13A5FD: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Функция задана по частям. Каждую формулу используем только на указанном в условии промежутке; граничную точку включаем только при нестрогом неравенстве.

2. Построим каждую часть и найдём её характерные точки.

Ветвь 1: y = 52x − 1 при x < 2. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = 25m + 25; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 4) выколота.

Ветвь 2: y = −72x + 11 при 2 ≤ x ≤ 3. Это убывающая прямая. Из y = m получаем x = −27m + 227; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (2; 4) включена, (3; 12) включена.

Ветвь 3: y = x − 1 при x > 3. Это возрастающая прямая. Из y = m получаем x = m + 1; оставляем точку только в промежутке этой ветви. Граничные точки: (3; 2) выколота.

3. Число пересечений может меняться на уровнях вершин, конечных границ ветвей и горизонтальных асимптот. Здесь это 12, 2, 4. Проверим эти уровни отдельно и сравним соседние промежутки:

m ∈ (−∞; 12): по ветвям 1 + 0 + 0 = 1 точка.

m = 12: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (12; 2): по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m = 2: по ветвям 1 + 1 + 0 = 2 точки.

m ∈ (2; 4): по ветвям 1 + 1 + 1 = 3 точки.

m = 4: по ветвям 0 + 1 + 1 = 2 точки.

m ∈ (4; +∞): по ветвям 0 + 0 + 1 = 1 точка.

Проверка: в таблице учтены все уровни и открытые промежутки между ними. Корни проверены в областях своих ветвей; общая граничная точка отнесена к ветви с нестрогим неравенством и не посчитана дважды.

Ответ: m ∈ [12; 2] ∪ {4}.