Задание A8A167: Функция и её график. Область определения и множество значений, нули, знакопостоянство, монотонность и экстремумы

1. Исходная функция: y=(x²−3x) · |x|x−3.

Область определения: x ≠ 3. После сокращения дроби эти ограничения сохраняются.

Выносим в числителе общий множитель: квадратный многочлен равен 1x(x − 3). После сокращения множителя (x − 3) получаем y = 1x|x| при x ≠ 3.

2. При x < 0 имеем |x| = −x, поэтому y = −x²; при x ≥ 0 получаем y = x². Обе части строго возрастают и соединяются в начале координат. Полный график принимает каждое действительное значение ровно один раз.

Исключённому аргументу x = 3 соответствует значение y = 1 · (3) · |3| = 9. На графике эту точку выкалываем. Другой точки с такой же ординатой нет из-за строгого возрастания.

3. Горизонтальная прямая не пересекает исходный график только при m = 9. При любом другом m единственная точка полного графика сохраняется.

Проверка: пропущенное значение получается только при запрещённом x = 3, а точка (0; 0) остаётся в области определения.

Ответ: m ∈ {9}.