Задание A61940: Степень с целым показателем. Степень с рациональным показателем. Свойства степени

1. Подставляемые значения: a = 3. Все они положительны, поэтому знаменатели ненулевые, а степени переменных положительны. Чётные степени отрицательного основания имеют положительный знак; подкоренное выражение определено.

2. При умножении степеней одного основания показатели складываем, при делении — вычитаем, при возведении степени в степень — перемножаем. Числовые множители при необходимости раскладываем на простые:
Промежуточные преобразования:
16 = 2⁴.
(a⁸)⁻¹ = a⁻⁸.
Для основания 2: 4 = 4.
Для основания a: 14 − 8 = 6.
Подкоренное выражение равно 16 · a⁶.

3. Все итоговые показатели чётны. Получаем квадрат:
16 · a⁶ = (4 · a³)².
По правилу √u² = |u| исходный корень равен |4 · a³|. При данных положительных значениях выражение внутри модуля положительно.
4 · 3³ = 108.

4. Проверка в исходном подкоренном выражении: Числитель после подстановки равен 76527504, знаменатель — 6561. Их отношение: 765275046561 = 11664.
Получено 11664. Квадрат найденного неотрицательного числа: 108² = 11664. Поэтому значение исходного арифметического корня равно 108.

Ответ: 108.