Задание A57F97: Треугольник

1. Угол при вершине C тупой. Поэтому основания высот A₁ и B₁ лежат на продолжениях сторон за вершину C. Угол A₁CB₁ равен углу ACB как вертикальный.

2. Обозначим острый угол, смежный с углом C, через φ. Из прямоугольных треугольников ACA₁ и BCB₁ следует: CA₁ = CA cos φ и CB₁ = CB cos φ.

3. Следовательно, CA₁CA = CB₁CB = cos φ. У треугольников A₁CB₁ и ACB стороны, заключающие равные углы при C, пропорциональны. Значит, эти треугольники подобны по двум сторонам и углу между ними.

Проверка: cos φ положителен, потому что φ острый. Проекции взяты на продолжения сторон с положительными длинами; тупой угол между соответствующими сторонами сохранён.

Ответ: Доказано.