Задание A1E947: Окружность и круг

1. Пусть O — пересечение диагоналей ромба. Диагонали перпендикулярны и делятся пополам. Кроме того, диагонали ромба делят его углы пополам, поэтому O является центром вписанной окружности.

2. OC = AC2 = 6. В прямоугольном треугольнике BOC имеем tg∠BCA = OBOC. Следовательно, OB = 6 · 43 = 8.

3. Сторона BC = √OC² + OB² = √36 + 64 = 10. Площадь ромба S = AC · BD2 = 2 · OC · OB = 96.

4. Соединяя центр с вершинами, получаем четыре треугольника общей высоты r. Поэтому S = pr, где p — полупериметр ромба, равный 2BC.

5. r = S2BC = 9620 = 4,8.

Проверка: четыре треугольника площадью 10 · 4,82 каждый вместе дают площадь ромба 96.

Ответ: 4,8.