Задание A142B2: Треугольник

1. Пусть T — точка касания окружности с лучом AB. По теореме о касательной и секущей AT² = AM · AN = 36 · 44. Поэтому AT = 12√11. Выбираем положительное расстояние, поскольку T лежит именно на луче AB.

2. Пусть L — середина хорды MN, O — центр окружности. Тогда OL перпендикулярен AC, а AL = AM + AN2 = 40. Обозначим угол BAC через α. По условию cos α = √116, значит sin α = √1 − cos² α = 56.

3. Расположим A в начале координат, а луч AC направим вдоль горизонтальной оси. Координата центра O по этой оси равна AL. Координата T равна AT cos α. Радиус OT перпендикулярен AB, поэтому абсолютная величина его горизонтальной проекции равна R sin α.

4. Так как AL ≥ √AM · AN = AT и cos α меньше 1, центр находится правее T. Следовательно, R sin α = AL − AT cos α. Подставляем: R = 40 − 2256 = 21,6.

Проверка: R sin α = 18 = AL − AT cos α. Для хорды MN половина длины равна 4; вычисленный радиус не меньше этой величины. Выбор AT положительным учитывает требование касания луча.

Ответ: 21,6.