Задание A077B6: Треугольник

1. Пусть T — точка касания окружности с лучом AB. По теореме о касательной и секущей AT² = AM · AN = 9 · 32. Поэтому AT = 12√2. Выбираем положительное расстояние, поскольку T лежит именно на луче AB.

2. Пусть L — середина хорды MN, O — центр окружности. Тогда OL перпендикулярен AC, а AL = AM + AN2 = 20,5. Обозначим угол BAC через α. По условию cos α = 2√23, значит sin α = √1 − cos² α = 13.

3. Расположим A в начале координат, а луч AC направим вдоль горизонтальной оси. Координата центра O по этой оси равна AL. Координата T равна AT cos α. Радиус OT перпендикулярен AB, поэтому абсолютная величина его горизонтальной проекции равна R sin α.

4. Так как AL ≥ √AM · AN = AT и cos α меньше 1, центр находится правее T. Следовательно, R sin α = AL − AT cos α. Подставляем: R = 20,5 − 1613 = 13,5.

Проверка: R sin α = 4,5 = AL − AT cos α. Для хорды MN половина длины равна 11,5; вычисленный радиус не меньше этой величины. Выбор AT положительным учитывает требование касания луча.

Ответ: 13,5.