Задание A10C3D: Механика

Модель. Шайба — материальная точка на внешней поверхности конуса; система отсчёта связана с Землёй и считается инерциальной. Угол α лежит между образующей и вертикалью, 0 < α < 90°. Расстояние L измерено по образующей, поэтому радиус горизонтальной окружности r = L sinα.

Ось x направим горизонтально к оси конуса, ось y — вертикально вверх. Действуют три силы: mg вниз, реакция N по нормали наружу от поверхности и трение покоя f вдоль образующей к вершине. Нормаль имеет проекции −N cosα и N sinα; трение — f sinα и f cosα. Ускорение направлено к оси, его модуль ω²r.

Второй закон Ньютона в проекциях:
f sinα − N cosα = mω²L sinα,
f cosα + N sinα = mg.
Умножим первое уравнение на cosα, второе на sinα и вычтем первое из второго. Затем аналогично исключим N. Получим:
N = m sinα · (g − ω²L cosα),
f = m(g cosα + ω²L sin²α).
В частности, f положительна: трение действительно направлено к вершине. Неподвижность относительно конуса требует N > 0 и f ≤ μN. При предельном допустимом вращении выполняется равенство f = μN.

Равенство f = μN запишем как:
g cosα + ω²L sin²α = μg sinα − μω²L sinα cosα.
Перенесём все слагаемые с L влево:
ω²L sinα(sinα + μ cosα) = g(μ sinα − cosα).
Следовательно,
L_макс = g(μ sinα − cosα)ω² sinα(sinα + μ cosα).
Это длина: отношение g к ω² имеет размерность метра. Числа в условии отсутствуют, поэтому ответ остаётся буквенным.

При ненулевом вращении и L > 0 нужно μ > ctgα. Если μ ≤ ctgα, положительного допустимого расстояния при ω > 0 нет. В особом случае ω = 0 при μ ≥ ctgα ограничение расстояния силами не задаётся: остаются только размеры самого конуса.

Проверка. В предельном состоянии N = mgsinα + μ cosα > 0. Подстановка f = μN в обе проекции воспроизводит горизонтальное ускорение и нулевое вертикальное ускорение. При ω = 0 необходимо μ ≥ ctgα — условие удержания тела на соответствующей наклонной поверхности.