Задание 5D4738: Динамика

Рассматриваем движение относительно Земли; эту систему отсчёта считаем инерциальной. Тела движутся поступательно, поэтому второй закон Ньютона применим к их центрам масс. При численных расчётах принимаем g=10 м·с⁻².
Нить невесома и нерастяжима, блок идеален: натяжение T одинаково по всей нити. Связь ускорений устанавливаем из постоянства её длины.
Для тела M ось Ox направим вверх по наклонной плоскости, Oy — наружу по нормали. Для подвешенного груза вертикальную ось направим вверх. На M действуют Mg вертикально вниз, N по нормали, T вверх по склону и сила трения F_тр вдоль склона. При минимальной массе m тело M готово сползать вниз, поэтому трение направлено вверх. На подвешенный груз действуют T вверх и mg вниз.
Система покоится. Второй закон Ньютона в проекциях:
Тело M, Ox: T+F_тр−Mg sinα=0.
Тело M, Oy: N−Mg cosα=0.
Подвешенный груз: T−mg=0.
По его горизонтальной оси: 0=ma_x.
На нижней границе допустимых масс трение покоя максимально: F_тр=μN. Подставляя T=mg и N=Mg cosα, получаем:
mg+μMg cosα=Mg sinα,
m_min=M(sinα−μ cosα).
Подстановка:
m_min=1 кг·(sin30°−0,3 cos30°)≈0,2402 кг.
Проверка: T≈2,402 Н, N≈8,660 Н, F_тр≈2,598 Н. Их сумма вдоль склона T+F_тр=5 Н совпадает с Mg sin30°=5 Н.
Общее условие покоя |Mg sinα−mg|≤μMg cosα даёт интервал масс от примерно 0,240 кг до 0,760 кг. Найден именно нижний предел. Если уменьшить m, требуемое трение вверх превысит μN и тело M начнёт сползать.