Задание 9C0922: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x+2)⁴+(x+2)²−12=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x + 2; введём новую переменную t = (x + 2)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x + 2)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² + t − 12 = 0.
D = (1)² − 4 · (1) · (−12) = 49.
√49 = 7. По формуле корней t = −(1) ± 72 · (1).
Получаем t = −4, t = 3.

3. Значение t = −4 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 3, то есть (x + 2)² = 3. Следовательно, x + 2 = −√3 или x + 2 = √3.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = −2 − √3 или x = −2 + √3.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x + 2)² = 3, а (x + 2)⁴ = 9. Левая часть исходного уравнения равна 9 + (1) · 3 + (−12) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: −2 − √3; −2 + √3.