Задание 602723: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение: x²−3x+√5−x=√5−x+18. Квадратные корни определены, если 5 − x неотрицательно. Область допустимых значений: x ≤ 5.

2. На этой области одинаковое слагаемое √5 − x можно вычесть из обеих частей. Получаем x² − 3x − 18 = 0. Область x ≤ 5 сохраняем; возводить уравнение в квадрат не требуется.

3. Решим полученное квадратное уравнение:
x² − 3x − 18 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (−18) = 81.
√81 = 9. По формуле корней x = −(−3) ± 92 · (1).
Получаем x = −3, x = 6.

4. Проверим каждого кандидата по исходной области:
x = −3: 5 − (−3) = 8; подкоренное выражение неотрицательно, корень подходит.
x = 6: 5 − (6) = −1; подкоренное выражение отрицательно, значение недопустимо.

5. Проверка принятого корня x = −3. Подкоренное выражение равно 8, а часть без корня равна (−3)² + (−3) · (−3) = 18. Поэтому обе части исходного уравнения равны 18 + √8. Все преобразования на области допустимых значений равносильны, других корней нет.

Ответ: −3.