Задание 999FDF: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. По исходному рисунку множество решений: (−∞; 0) ∪ (8; +∞). Пустые точки не входят в него, закрашенные входят. Сравним это множество с решениями предложенных неравенств.

2. Вариант 1: x² − 64 < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 64 − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 64 = (x − 8) · (x + 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 8); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
(−8; 8): при x = −7 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
x = −8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−8; 8).

3. Вариант 2: x² − 64 > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 64 − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 64 = (x − 8) · (x + 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 8) · (x + 8); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: −8, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −8): при x = −9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
(−8; 8): при x = −7 получаем f(x) = −15, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 17, знак положителен.
x = −8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; −8) ∪ (8; +∞).

4. Вариант 3: x² − 8 · x < 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 8 · x − (0) < 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 8 · x = x · (x − 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 8); требуется f(x) < 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 9, знак положителен.
(0; 8): при x = 1 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 9, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (0; 8).

5. Вариант 4: x² − 8 · x > 0.
Перенесём правую часть влево: x² − 8 · x − (0) > 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² − 8 · x = x · (x − 8).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x · (x − 8); требуется f(x) > 0.
Критические точки в порядке возрастания: 0, 8.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 0): при x = −1 получаем f(x) = 9, знак положителен.
(0; 8): при x = 1 получаем f(x) = −7, знак отрицателен.
(8; +∞): при x = 9 получаем f(x) = 9, знак положителен.
x = 0 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
x = 8 даёт ноль; исключаем эту точку, так как неравенство строгое.
Множество решений: (−∞; 0) ∪ (8; +∞).

6. Только вариант 4 даёт в точности отмеченное на рисунке множество (−∞; 0) ∪ (8; +∞).

В условии требуется номер варианта. Найденному множеству (−∞; 0) ∪ (8; +∞) соответствует вариант 4.

Проверка полноты: решения всех четырёх неравенств сопоставлены с границами и отмеченными промежутками рисунка.

Ответ: 4.