Задание A510D6: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: x² − 7 · x + 10x − 2 ≤ 0.
Исключаем нули исходных знаменателей: x ≠ 2. Эти ограничения сохраняем и после сокращений.

2. Перенесём правую часть влево: x² − 7 · x + 10x − 2 − (0) ≤ 0.
Правая часть равна нулю. Преобразуем числитель и знаменатель, сохраняя исходные ограничения.
x² − 7 · x + 10 = (x − 5) · (x − 2).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = x − 5; требуется f(x) ≤ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: 2, 5.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; 2): при x = 1 получаем f(x) = −4, знак отрицателен.
(2; 5): при x = 3 получаем f(x) = −2, знак отрицателен.
(5; +∞): при x = 6 получаем f(x) = 1, знак положителен.
x = 2 исключаем: исходный знаменатель равен нулю.
x = 5 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≤, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; 2) ∪ (2; 5].
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; 2) ∪ (2; 5].