Задание 999165: Целые и дробно-рациональные неравенства. Системы и совокупности неравенств

1. Исходное неравенство: (x² + x − 12) · (x² − 9 · x + 18) ≥ 0.
В обеих частях многочлены, поэтому допустимы все действительные x.

2. Перенесём правую часть влево: (x² + x − 12) · (x² − 9 · x + 18) − (0) ≥ 0.
Разложим полученный многочлен на множители.
x² + x − 12 = (x − 3) · (x + 4).
x² − 9 · x + 18 = (x − 6) · (x − 3).
Итак, исследуем знак выражения f(x) = (x − 6) · (x − 3)² · (x + 4); требуется f(x) ≥ 0.

3. Применим метод интервалов.
Критические точки в порядке возрастания: −4, 3, 6.
Внутри каждого полученного промежутка выражение непрерывно и не обращается в ноль, поэтому его знак постоянен. Найдём знак подстановкой одного числа из каждого промежутка:
(−∞; −4): при x = −5 получаем f(x) = 704, знак положителен.
(−4; 3): при x = −3 получаем f(x) = −324, знак отрицателен.
(3; 6): при x = 4 получаем f(x) = −16, знак отрицателен.
(6; +∞): при x = 7 получаем f(x) = 176, знак положителен.
x = −4 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 3 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.
x = 6 даёт ноль; включаем эту точку, так как неравенство нестрогое.

4. Выбираем все промежутки, где выполняется исходный знак ≥, и учитываем граничные точки. Получаем:
x ∈ (−∞; −4] ∪ {3} ∪ [6; +∞).
Проверены все промежутки между критическими точками и сами точки, поэтому множество решений полное.

Проверка полноты: знаки внутри промежутков, включение нулей и исходные ограничения учтены.

Ответ: (−∞; −4] ∪ {3} ∪ [6; +∞).