Задание 9947F1: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Исходное уравнение (x−1)(x²+6x+9)=5(x+3) определено при всех действительных x. Найдём все корни, сохранив значения, при которых общий множитель обращается в ноль.

2. Квадратный трёхчлен в левой части — полный квадрат:
x² + 6x + 9 = (x + 3)².
Перенесём правую часть влево и вынесем общий множитель:
(x + 3) · ((x−1) · (x + 3) − 5) = 0.
На x + 3 не делим: иначе можно потерять корень x = −3.

3. Первый множитель даёт x = −3. Второй даёт уравнение (x−1) · (x + 3) − 5 = 0. Раскроем скобки и решим его:
x² + 2x − 8 = 0.
D = (2)² − 4 · (1) · (−8) = 36.
√36 = 6. По формуле корней x = −(2) ± 62 · (1).
Получаем x = −4, x = 2.

4. Объединим полученные значения: −4, −3, 2. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −4: слева ((−4)−1)((−4)²+6(−4)+9) = −5; справа 5((−4)+3) = −5.
x = −3: слева ((−3)−1)((−3)²+6(−3)+9) = 0; справа 5((−3)+3) = 0.
x = 2: слева ((2)−1)((2)²+6(2)+9) = 25; справа 5((2)+3) = 25.
Все значения допустимы. Общий множитель и оставшийся квадратный множитель полностью исследованы, поэтому других корней нет.

Ответ: −4; −3; 2.