Задание CC11F7: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x−4)⁴−4(x−4)²−21=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x − 4; введём новую переменную t = (x − 4)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x − 4)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − 4t − 21 = 0.
D = (−4)² − 4 · (1) · (−21) = 100.
√100 = 10. По формуле корней t = −(−4) ± 102 · (1).
Получаем t = −3, t = 7.

3. Значение t = −3 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 7, то есть (x − 4)² = 7. Следовательно, x − 4 = −√7 или x − 4 = √7.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = 4 − √7 или x = 4 + √7.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x − 4)² = 7, а (x − 4)⁴ = 49. Левая часть исходного уравнения равна 49 + (−4) · 7 + (−21) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: 4 − √7; 4 + √7.