Задание 98D489: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Область допустимых значений — все действительные числа: обе части уравнения являются многочленами. Найдём все корни. Используем группировку слагаемых, чтобы выделить общий множитель.

2. Левая часть уже собрана в один многочлен.
x³ + 3x² − 4x − 12 = 0.
x²(x + 3) − 4(x + 3) = 0.
(x + 3)(x² − 4) = 0.
Группировка верна, поскольку 4 · 3 = 12. На выражение x + 3 не делим: оно может быть равно нулю.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
x + 3 = 0 или x² − 4 = 0.
Из первого уравнения x = −3. Из второго x² = 4 = 2², поэтому x = −2 или x = 2. Все три корня различны. Других корней нет, поскольку выполненные преобразования равносильны.

4. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −3: левая часть равна (−3)³ + 3 · (−3)² − 4 · (−3) − 12 = 0; правая часть равна 0.
x = −2: левая часть равна (−2)³ + 3 · (−2)² − 4 · (−2) − 12 = 0; правая часть равна 0.
x = 2: левая часть равна 2³ + 3 · 2² − 4 · 2 − 12 = 0; правая часть равна 0.
Во всех трёх случаях левая и правая части совпадают. Ограничений, исключающих эти значения, нет.

Ответ: −3; −2; 2.