Задание C96480: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Область допустимых значений — все действительные числа: обе части уравнения являются многочленами. Найдём все корни. Используем группировку слагаемых, чтобы выделить общий множитель.

2. Левая часть уже собрана в один многочлен.
x³ + 5x² − 4x − 20 = 0.
x²(x + 5) − 4(x + 5) = 0.
(x + 5)(x² − 4) = 0.
Группировка верна, поскольку 4 · 5 = 20. На выражение x + 5 не делим: оно может быть равно нулю.

3. Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один множитель равен нулю:
x + 5 = 0 или x² − 4 = 0.
Из первого уравнения x = −5. Из второго x² = 4 = 2², поэтому x = −2 или x = 2. Все три корня различны. Других корней нет, поскольку выполненные преобразования равносильны.

4. Проверка каждого корня в исходном уравнении:
x = −5: левая часть равна (−5)³ + 5 · (−5)² − 4 · (−5) − 20 = 0; правая часть равна 0.
x = −2: левая часть равна (−2)³ + 5 · (−2)² − 4 · (−2) − 20 = 0; правая часть равна 0.
x = 2: левая часть равна 2³ + 5 · 2² − 4 · 2 − 20 = 0; правая часть равна 0.
Во всех трёх случаях левая и правая части совпадают. Ограничений, исключающих эти значения, нет.

Ответ: −5; −2; 2.