Задание 93098E: Целые и дробно-рациональные уравнения. Системы и совокупности уравнений

1. Уравнение (x−3)⁴−3(x−3)²−10=0 является многочленным, поэтому допустимы все действительные x. В нём повторяется квадрат выражения x − 3; введём новую переменную t = (x − 3)². Обязательно учитываем t ≥ 0.

2. Четвёртая степень равна квадрату новой переменной: (x − 3)⁴ = t². Получаем квадратное уравнение относительно t:
t² − 3t − 10 = 0.
D = (−3)² − 4 · (1) · (−10) = 49.
√49 = 7. По формуле корней t = −(−3) ± 72 · (1).
Получаем t = −2, t = 5.

3. Значение t = −2 отрицательно и не может быть квадратом действительного числа. Остаётся t = 5, то есть (x − 3)² = 5. Следовательно, x − 3 = −√5 или x − 3 = √5.
Переносим постоянное слагаемое и получаем:
x = 3 − √5 или x = 3 + √5.

4. Проверка обоих значений: при каждом из них (x − 3)² = 5, а (x − 3)⁴ = 25. Левая часть исходного уравнения равна 25 + (−3) · 5 + (−10) = 0. Оба корня действительные и различны. Других не существует: отрицательный t невозможен, а положительный квадрат даёт ровно два значения x.

Ответ: 3 − √5; 3 + √5.