Задание 95A838: Окружность и круг

1. В равностороннем треугольнике высоты, медианы и биссектрисы совпадают. Центр описанной окружности O также является центром вписанной окружности. Поэтому расстояние от O до сторон — радиус r вписанной окружности.

2. Пусть сторона равна a, высота — h. По теореме Пифагора h² = a² − a²4, откуда h = a√32. Медиана делится центром в отношении 2:1, считая от вершины, поэтому r = h3 = a√36.

3. При r = 5√3 получаем a = 6r√3 = 30.

Проверка: 30√36 = 5√3 — исходное расстояние до сторон треугольника.

Ответ: 30.